Կախված դիտարկվող խնդրից կատարվում են ամբողջ արտահայտությունների այս կամ այն ձևափոխությունները: Մենք արդեն կիրառել ենք ձևափոխություններ հաշվումները պարզեցնելու համար և հավասարումներ լուծելիս: Դիտարկենք այլ խնդիրներ, որոնք լուծելիս կիրառվում են ամբողջ արտահայտությունների ձևափոխումներ:
Օրինակ 1: Ապացուցենք, որ ցանկացած x-ի դեպքում x² + 6x + 10 բազմանդամն ընդունում է դրական արժեքներ:
10 թիվը տրոհենք երկու գումարելու՝ 9 և 1, այդ դեպքում տրված բազմանդամի մեջ հնարավոր կլինի առանձնացնել գումարի քառակուսի: Կստանանք՝x² + 6x + 10 = (x² + 6x + 9) + 1 = (x + 3)² + 1:Մենք x² + 6x + 10 բազմանդամը ներկայացրինք երկու գումարելիների՝ (x + 3)² և 1 գումարի տեսքով: (x + 3)² գումարելու արժեքը ցանկացած x-ի դեպքում դրական է, կամ զրո, այդ պատճառով (x + 3)² + 1 գումարի արժեքը x-ի ցանկացած արժեքի դեպքում մեծ է զրոյից: Այդ պատճառով x² + 6x + 10 բազմանդամը x-ի ցանկացած արժեքի դեպքում ընդունում է դրական արժեք:
Օրինակ 2: Ապացուցենք, որ ոչ մի ամբողջ n-ի դեպքում (n + 1) (n – 1) – (n – 6) (n + 2) արտահայտության արժեքը չի բաժանվում 4-ի: Տրված արտահայտությունը պարզեցնենք.(n + 1) (n – 1) – (n – 6) (n + 2) = (n² - 1) – (n² - 6n + 2n – 12) =
= n² - 1 - n² + 6n – 2n + 12 = 4n + 11:Մենք տվյալ արտահայտությունը ներկայացրինք 4n + 11 գումարի տեսքով: Ցանկացած ամբողջ n-ի դեպքում առաջին գումարելին բաժանվում է 4-ի, երկրորդ գումարելին՝ 11-ը չի բաժանվում 4-ի: Ուստի ցանկացած ամբողջ n-ի դեպքում 4n + 11 գումարի արժեքը՝ նշանակում է նաև սկզբնական՝ (n + 1) (n – 1) – (n – 6) (n + 2) արտահայտության արժեքը 4-ի չի բաժանվում: