a + b բազմանդամը բազմապատկենք c + d բազմանդամով: Կազմենք այդ բազմանդամների արտադրյալը.(a + b) * (c + d):a + b երկանդամը նշանակենք x տառով և ստացված արտադրյալը ձևափոխենք միանդամը բազմանդամով բազմապատկելու կանոնի համաձայն.(a + b) * (c + d) = x * (c + d) = xc + xd:xc + xd արտահայտության մեջ x-ի փոխարեն տեղադրենք a + b բազմանդամը և նորից օգտվենք միանդամը բազմանդամով բազմապատկելու կանոնից.xc + xd = (a + b) * c + (a + b) * d = ac + bc + ad + bd:Եվ այսպես՝(a + b) * (c + d) = ac + bc + ad + bd:a + b և c + d բազմանդամների արտադրյալը մենք ներկայացրինք ac + bc + ad + bd բազմանդամի տեսքով: Այդ բազմանդամը այն բոլոր միանդամների գումարն է, որ ստացվում է a + b բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամ c + d բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամով բազմապատկելիս:
Ընդհանրապես՝ ցանկացած երկու բազմանդամի արտադրյալ հնարավոր է ներկայացնել բազմանդամի տեսքով:
Բազմանդամը բազմանդամով բազմապատկելիս օգտվում են հետևյալ կանոնից.
Բազմանդամը բազմանդամով բազմապատկելու համար պետք է մի բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամ բազմապատկել մյուս բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամով և ստացված արտադրյալները գումարել:
Նշենք, որ m անդամ պարունակող բազմանդամը n անդամ պարունակող բազմանդամով բազմապատկելիս արտադրյալում (նախքան նման անդամները միավորելը) պետք է ստացվի mn անդամ: Սա կարելի է օգտագործել ստուգելու համար:
Օրինակ 1: 4x² + 2xy - y² բազմանդամը բազմապատկենք 2x – y բազմանդամով.(4x² + 2xy - y²) * (2x – y) =
= 8x³ + 4x²y – 2xy² - 4x²y – 2xy² + y³ = 8x³ - 4xy² + y³:Օրինակ 2: Պարզեցնենք արտահայտությունը՝(2a – 3)(5 – a) – 3a(4 – a) = 10a – 15 – 2a² + 3a – (12a – 3a²) =
= 13a – 15 – 2a² + 3a² = a² + a – 15:Օրինակ 3: Ապացուցենք, որ ցանկացած բնական n-ի դեպքում n(n – 5) – (n – 14)(n + 2) արտահայտության արժեքը բազմապատիկ է 7-ին:
Կատարենք ձևափոխություններ.n(n – 5) – (n – 14)(n + 2) = n² - 5n – (n² - 14n + 2n – 28) =
= n² - 5n - n² + 14n – 2n + 28 = 7 * (n + 4):Ցանկացած բնական n-ի դեպքում 7 * (n + 4) արտադրյալը բաժանվում է 7-ի, ուստի՝ 7-ի բաժանվում է նաև n(n – 5) – (n – 14)(n + 2) արտահայտության արժեքը: