Հավասարումներ լուծելիս, հաշվումներ կատարելիս և մի շարք այլ խնդիրներում օգտակար է լինում բազմանդամը փոխարինել մի քանի բազմանդամների արտադրյալով (ի թիվս որոնց կարող են լինել նաև միանդամներ): Բազմանդամի ներկայացումը երկու կամ մի քանի բազմանդամների արտադրյալի տեսքով անվանում են բազմանդամի վերլուծում բազմապատկիչների:
Դիտարկենք 6a²b + 15b² բազմանդամը: Նրա յուրաքանչյուր անդամ կարելի է փոխարինել երկու բազմապատկիչների արտադրյալով, որոնցից մեկը հավասար է 3b-ի.6a²b + 15b² = 3b * 2a² + 3b * 5b:Ստացված արտահայտությունը՝ ըստ բազմապատկման բաշխական հատկության կարելի է ներկայացնել երկու բազմապատկիչների արտադրյալի տեսքով: Նրանցից մեկը՝ 3b-ն ընդհանուր բազմապատկիչ է, իսկ երկրորդը 2a² ու 5b-ի գումարն է:3b * 2a² + 3b * 5b = 3b * (2a² + 5b):Եվ այսպես՝6a²b + 15b² = 3b * (2a² + 5b):Մենք բազմանդամը վերլուծեցինք բազմապատկիչների՝ այն ներկայացնելով 3b միանդամի և 2a² + 5b բազմանդամի արտադրյալի տեսքով: Բազմանդամը բազմապատկիչների վերլուծելու վերը կիրառված եղանակը անվանում են ընդհանուր բազմապատկիչի դուրս բերում փակագծերից:
Դիտարկենք բազմանդամը բազմապատկիչների վերլուծելու օրինակներ՝ ընդհանուր բազմապատկիչը փակագծերից դուրս բերելու միջոցով:
Օրինակ 1: Հետևյալ բազմանդամը վերլուծենք բազմապատկիչների՝-15x²y³ - 30x³y² + 45x⁴y:Այդ բազմանդամի անդամները ունեն մի քանի ընդհանուր բազմապատկիչներ՝ x, y, 3xy, -5x² և այլն: Սովորաբար ամբողջ գործակիցներ ունեցող բազմանդամի մեջ փակագծերից դուրս բերվող բազմապատկիչն ընտրում են այնպես, որ բազմանդամի՝ փակագծերի ներսում մնացած անդամները չունենան տառային ընդհանուր բազմապատկիչ, իսկ նրանց գործակիցների բացարձակ մեծությունները չունենան ընդհանուր բաժանարար:
-15x²y³ - 30x³y² + 45x⁴y բազմանդամի մեջ գործակիցների բացարձակ մեծությունները 15, 30 և 45 թվերն են: Նրանց ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը 15-ն է: Ուստի՝ որպես ընդհանուր բազմապատկիչի գործակից կարելի է վերցնել 15 կամ -15 թվերը: Բազմանդամի բոլոր անդամները պարունակում են x և y փոփոխականներ: x փոփոխականը նրանց մեջ մտնում է երկրորդ, երրորդ և չորրորդ աստիճանով, այդ պատճառով փակագծերից կարելի է դուրս բերել x²-ին: y փոփոխականը բազմանդամի անդամների մեջ պարունակվում է երրորդ, երկրորդ և առաջին աստիճանով, ուրեմն փակագծերից կարելի է դուրս բերել y-ը: Եվ այսպես՝ նպատակահարմար է փակագծերից դուրս բերել 15x²y կամ՝ -15x²y միանդամը: Դուրս բերենք, օրինակ -15x²y-ը: Կստանանք՝-15x²y³ - 30x³y² + 45x⁴y = -15 x²y * (y² + 2xy – 3x²):Օրինակ 2: Արտահայտությունը վերլուծենք բազմապատկիչների՝3a² * (b – 2c) + 7 * (b – 2c):Այդ գումարի մեջ յուրաքանչյուր գումարելի պարունակում է ընդհանուր բազմապատկիչ՝ b – 2c: Այդ բազմապատկիչը դուրս բերենք փակագծերից.3a² * (b – 2c) + 7 * (b – 2c) = (b – 2c)(3a² + 7):Օրինակ 3: Արտադրյալի տեսքով ներկայացնենք գումարը՝a * (x - y) + b * (y - x):x - y և y – x բազմապատկիչներն իրարից տարբերվում են միայն նշանով: Եթե y – x արտահայտության մեջ փակագծերից դուրս բերենք -1-ը, ապա երկրորդ գումարելին կունենա այն նույն բազմապատկիչը, ինչ որ առաջինը: Ուստի այդ բազմապատկիչը կարելի է դուրս բերել փակագծերից:a * (x - y) + b * (y - x) = a * (x – y) + b * (-1) * (x - y) =
= a * (x - y) – b * (x – y) = (x – y)(a - b):Գրառումը կարելի է կրճատել.a * (x - y) + b * (y - x) = a * (x - y) – b * (x – y) =
= (x – y)(a - b):Նշենք, որ b(y – x) = -b(x – y) ձևափոխությունը հնարավոր է բացատրել այլ կերպ. եթե փոխվի երկրորդ գործակցի նշանը և արտադրյալի նշանը, ապա արտահայտության արժեքը չի փոխվի:
Օրիօնակ 4: Լուծենք 2x² + 3x = 0 հավասարումը:
2x² + 3x արտահայտության մեջ փակագծերից դուրս բերենք x բազմապատկիչը: Կստանանք՝x * (2x + 3) = 0:x * (2x + 3) արտադրյալը հավասար է զրոյի այն և միայն այն դեպքում, երբ զրոի է հավասար բազմապատկիչներից թեկուզ և մեկը, այսինքն, երբ՝x = 0 կամ 2x + 3 = 0:Լուծելով 2x + 3 = 0 հավասարումը գտնում ենք՝2x = -3, x = -1,5:Հետևաբար՝ x * (2x + 3) արտադրյալը զրո է դառնում x = 0 և x = -1.5 դեպքում, այսինքն 2x² + 3x = 0 հավասարումն ունի երկու արմատ՝ 0 և -1.5:
Գրառումը կարելի է կրճատել.2x² + 3x = 0,
x * (2x + 3) = 0,
x = 0 կամ 2x + 3 = 0,
x = 0 կամ x = -1.5:Պատասխան՝ 0 և -1.5:
Օրինակ 5: Ապացուցենք, որ 3⁹ + 3⁷ + 3⁶ գումարը բաժանվում է 31-ի:
3⁹ + 3⁷ + 3⁶ արտահայտության մեջ փակագծերից դուրս բերենք 3⁶-ը.3⁹ + 3⁷ + 3⁶ = 3⁶ * (3³ + 3 + 1) = 3⁶ * (27 + 3 + 1) = 3⁶ * 31:Մենք 3⁹ + 3⁷ + 3⁶ գումարը ներկայացրինք երկու ամբողջ փվերի արտադրյալի տեսքով, որոնցից մեկը հավասար է 31-ի: Նշանակում է, որ գումարը բաժանվում է 31-ի: