Գործնականում հաճախ ենք հանդիպում զանազան մեծությունների միջև կախվածությունների: Օրինակ՝ շրջանի մակերեսը կախված է նրա շառավղից, մետաղյա չորսուի զանգվածը կախված է նրա ծավալից և նյութի խտությունից, ուղղանկյուն զուգահեռանիստի ծավալը կախված է նրա երկարությունից, լայնությունից և բարձրությունից:
Այսուհետ կուսումնասիրենք երկու մեծությունների միջև կախումը:
Դիտարկենք օրինակներ:
Օրինակ 1: Քառակուսու մակերեսը կախված է նրա կողմի երկարությունից: Դիցուք քառակուսու կողմը հավասար է a սմ-ի, իսկ մակերեսը՝ S քսմ-ի:
a փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեքի համար կարելի է գտնել S փոփոխականի համապատասխան արժեքը:
Այսպես՝եթե a = 3, ապա S = 3² = 9,
եթե a = 15, ապա S = 15² = 225,
եթե a = 0.4, ապա S = 0.4² = 0.16:S փոփոխականի կախվածությունը a փոփոխականից արտահայտվում էS = a²բանաձևով (ըստ իմաստի a > 0):
a փոփոխականին, որի արժեքը ընտրվում է կամայականորեն, անվանում են անկախ փոփոխական, իսկ S փոփոխականին, որի արժեքը որոշվում է ըստ а-ի ընտրված արժեքի, անվանում են կախյալ փոփոխական:
Օրինակ 2: Ճանապարհը, որն անցնում է մեքենան 50 կմ/ժ արագությամբ, կախված է շարժման տևողությունից:
Ավտոմեքենայի շարժման տևողությունը (ժամերով) նշանակենք t տառով, իսկ անցած ճանապարհը (կիլոմետրերով) S տառով: t փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեքի համար (t ≥ 0) հնարավոր է գտնել S փոփոխականի համապատասխան արժեքը: Օրինակ՝ եթե t = 0.5, ապա S = 50 * 0.5 = 25,
եթե t = 2, ապա S = 50 * 2 = 100,
եթե t = 3.5, ապա S = 50 * 3.5 = 175:S փոփոխականի կախվածությունը t փոփոխականից արտահայտվում է այս բանաձևով.S = 50t:Այդ օրինակում t-ն անկախ փոփոխական է, իսկ S-ը՝ կախյալ փոփոխական:Օրինակ 3: Նկարում պատկերված է օդի ջերմաստիճանի գրաֆիկը մեկ օրվա ընթացքում:
Այդ գրաֆիկի միջոցով t ժամանակի (ժամերով) յուրաքանչյուր պահի համար, որտեղ 0 ≤ t ≤ 24, հնարավոր է գտնել համապատասխան ջերմաստիճանը (Ցելսիուսի աստիճաններով): Օրինակ՝ եթե t = 3, ապա p = -7,
եթե t = 12, ապա p = 2,
եթե t = 15, ապա p = 4:Այստեղ t-ն անկախ փոփոխական է, իսկ p-ն՝ կախյալ փոփոխական:
Դիտարկված օրինակներում անկախ փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեքի համապատասխանում է կախյալ փոփոխականի միայն մեկ արժեք: Մի փոփոխականի այդպիսի կախվածությունը մյուսից անվանում են ֆունկցիոնալ կախվածություն կամ ֆունկցիա:
Անկախ փոփոխականին, այլ կերպ անվանում են արգումենտ, իսկ կախյալ փոփոխականի մասին ասում են, որ նա ֆունկցիա է այդ արգումենտից: Այսպես՝ քառակուսու մակերեսը ֆունկցիա է նրա կողմի երկարությունից, հաստատուն արագությամբ ավտոմեքենայի անցած ճանապարհը ֆունկցիա է շարժման տևողությունից: Կախյալ փոփոխականի արժեքը անվանում են ֆունկցիայի արժեք:
Անկախ փոփոխականի ընդունած բոլոր արժեքները ֆունկցիայի որոշման տիրույթն են: Օրինակ՝ այն ֆունկցիայի որոշման տիրույթը, որը դիտարկեցինք օրինակ 1-ում, բոլոր դրական թվերն են, իսկ օրինակ 3-ում՝ 0-ից 24 բոլոր թվերը: