Դիտարկենք մի խնդիր:
Ներքևի գրադարակում 4 անգամ ավելի շատ գիրք կա, քան վերևի գրադարակում: Եթե ներքևի գրադարակից վերև տեղափոխենք 15 գիրք, ապա գրադարակներում գրքերի քանակները կհավասարվեն: Քանի՞ գիրք կա վերևի գրադարակում:
Վերևի գրադարակի գրքերի թիվը նշանակենք x տառով: Այդ դեպքում ներքևի գրադարակի գրքերի թիվը կլինի 4x: Եթե ներքևի գրադարակից 15 գիրք տեղափոխենք վերև, ապա ներքևի գրադարակում կմնա 4x-15 գիրք, իսկ վերևում կլինի x+15 գիրք: Ըստ խնդրի պայմանի այդպիսի տեղափոխությունից հետո գրադարակներում գրքերի քանակները հավասարվեցին: Ուստի՝4x - 15 = x + 15:Անհայտ գրքերի թիվը գտնելու համար մենք կազմեցինք փոփոխական պարունակող հավասարություն: Այդպիսի հավասարություններն անվանում են մեկ փոփոխականով հավասարումներ, կամ հավասարումներ մեկ անհայտով:
Մենք պետք է գտնենք այն թիվը, որը x-ի փոխարեն տեղադրելով 4x - 15 = x + 15 հավասարման մեջ ստացվի ճիշտ հավասարություն: Այդպիսի թիվն անվանում են հավասարման լուծում, կամ հավասարման արմատ:
Սահմանում: Հավասարման արմատ կոչվում է փոփոխականի այն արժեքը, որի դեպքում հավասարումը դառնում է ճիշտ հավասարություն:
4x - 15 = x + 15 հավասարումն ունի մեկ արմատ՝ 10 թիվը: Կարելի է բերել այնպիսի հավասարումների օրինակներ, որոնք ունեն երկու և ավելի արմատներ կամ՝ արմատներ չունեն:
Այսպես՝ (x-4) * (x-5) * (x-6) = 0 հավասարումն ունի երեք արմատ՝ 4, 5 և 6: Իրոք՝ այդ թվերից յուրաքանչյուրը զրո է դարձնում (x-4) * (x-5) * (x-6) արտադրյալի բազմապատկիչներից մեկը, և նշանակում է՝ հենց արտադրյալը: x-ի ցանկացած այլ արժեքի դեպքում բազմապատկիչներից ոչ մեկը զրո չի դառնում, և նշանակում է՝ արտադրյալն էլ զրո չի դառնում: x + 2 = x հավասարումն արմատներ չունի, քանի որ x-ի ցանկացած արժեքի դեպքում հավասարման ձախ մասը 2-ով ավելի է աջ մասից:
Հավասարումը լուծել՝ նշանակում է գտնել նրա բոլոր արմատները, կամ ապացուցել, որ արմատներ չկան:
x² = 4 հավասարումն ունի երկու արմատ՝ 2 և -2 թվերը: (x-2) * (x+2) = 0 հավասարումը նույնպես ունի երկու արմատ՝ 2 և -2: Միևնույն արմատներն ունեցող հավասարումները կոչվում են համարժեք հավասարումներ: Արմատներ չունեցող հավասարումները նույնպես համարժեք են հարմարվում:
Հավասարումներ լուծելիս օգտագործում են հետևյալ հատկությունները.
1) եթե հավասարման մեջ փոխելով որևէ գումարելու նշանը նրան մի մասից տեղափոխենք մյուս մասը՝ ապա կստացվի տրված հավասարմանը համարժեք հավասարում:
2) եթե հավասարման երկու մասն էլ բազբապատկենք կամ բաժանենք զրոյից տարբեր թվի վրա, ապա կստացվի տրված հավասարմանը համարժեք հավասարում:
Օրինակ՝5x = 2x + 7 և 5x - 2x = 7հավասարումները համարժեք են, համարժեք են նաև6x = 2x + 8 և 3x = x + 4հավասարումները: Հավասարումների նշված հատկությունները կարելի է ապացուցել՝ հիմք ունենալով թվային ճիշտ հավասարությունների հատկությունները. եթե ճիշտ հավասարության երկու մասին էլ ավելացնենք միևնույն թիվը կամ ճիշտ հավասարության երկու մասն էլ բազմապատկենք կամ բաժանենք զրոյից տարբեր միևնույն թվի վրա, ապա կստացվի ճիշտ հավասարություն: